9 feb. 2014

Söndagsfunderingen: Vad är summan av alla positiva heltal?

Nu ska ni få något att bita i, ett matematiskt resultat som kan hålla en vaken på natten. Det gäller svaret på den här frågan: vad är summan av alla positiva heltal? Dvs. svaret på detta:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + ... = ?

Remarkabelt nog finns det ett svar. Och ännu mer remarkabelt så är svaret ... -1/12 (ja, du läste rätt, det står minus en tolftedel).

Nej, det här är inget matematiskt trick utan ett specialfall av Riemans zeta-funktion, först utarbetad av Euler på 1700-talet och sedan vidareutvecklad av Riemann i en berömd artikel från 1859. Funktionen spelar en central roll inom fysiken.

Så hur i hela friden kan det stämma? Här ska ni få se ett matematiskt bevis som även icke-matematiker kan förstå. Den här videon, av Numberphile har till dags dato visats en och en halv miljoner gånger och blivit omskriven i New York Times.



Oändligheten är fundamentalt ointuitiv.

Vill ni tjäna en miljon dollar så kan ni försöka ger er på ett besläktat problem: Riemannhypotesen.

5 kommentarer:

Gunnar Lindholm sa...

Här är en
kritik av videon.

I korthet så är det för att begreppet summa används för lättvindigt.

Lennart W sa...

Ouch! Nä, riktigt så där bör man inte formulera sig, även om det nog iofs inte är ovanligt bland fysiker. Bra länk av Gunnar, som också har många bra andra länkar om detta.

Här är mitt försök till klargörande:

1+2+3+... är odefinierat och inget annat. När det gäller 1-1+1-1+... kan man få det att bli vad som helst om man bara ändrar om ordningen lite i summan. Eftersom det ju finns oändligt många +1 och -1 kan vi t.ex. skriva
1-1+1-1+...
=1-1 +1+1-1 +1+1+1-1 +...
=1 +2 +3 +...
vilket ju OCKSÅ är summan av alla naturliga tal. (Problemet att summan kan bli vad som helst får man alltid om termernas storlek inte AVTAR, och det också tillräckligt fort..)

Nä, oändligheter måste man faktiskt vara lite mer försiktig med än i videon.

Jag tänker antyda ett rätt sätt att göra det på, med ett lite enklare exempel från gymnasiematte:

Definiera funktionen
1+x+x^2+x^3+...
Om och endast om -1 < x < 1 ger denna s.k. geoemetriska summa svaret
1/(1-x)
som alltså är samma sak inom definitionsområdet -1 < x < 1. Men till skillnad mot summan är denna formel även definierad för ALLA x utom x=1. Den andra formeln är vad vi kallar för en analytisk fortsättning av den första formeln, från området -1 < x < 1 till ett för alla x utom x=1 (faktiskt inte bara för alla reella x utan även alla komplexa). Och denna andra formel ger för t.ex. x=2 värdet -1.

Men sätter vi in x=2 i summan får vi
1+2+4+8+...
vilket naturligtvis INTE ALLS är lika med -1. Så vad är det då egentligen som vi har visat? Svar:

Den analytiska fortsättningen till 1+x+x^2+x^3+..., från definitionsområdet -1 < x < 1, till x = 2, ger värdet -1.

Petimäter? Nä. 1+2+4+8+... är ju verkligen en divergent summa, dvs en summa som helt enkelt inte konvergerar till något värde alls. Men 1/(1-x) är en funktion som vi inte har några problem alls att definiera och kan beräkna för x=2.

På liknande sätt kan vi nu göra med följande summa:
1^(-x)+2^(-x)+3^(-x)+...
som konvergerar när x > 1. Men denna funktion kan fortsättas analytiskt till alla x utom för x = 1, och det är denna analytiska fortsättning som kallas för Riemanns zeta-funktion. Och denna funktion har värdet -1/12 för x=-1. OM man sätter in x=-1 i summaformeln får man visserligen något som ser ut som summan av alla naturliga tal, men denna summa är ju som sagt divergent och saknar värde.

Det jag gissar händer egentligen i strängteori osv, är att det rätta sättet att räkna på leder fram till Riemmanns zeta-funktion för värdet x=-1 som ju HAR värdet -1/12.

Bo sa...

Tack Gunnar och Lennart.

Påminner mig om hur vissa Humanister och medlemmar i Svenska kyrkan förhåller sig till ord och begrepp.

Pike sa...

Efter att ha läst mycket svammel om den här videon på andra ställen så är det skönt att se att någon, i det här fallet Lennart W, kan formulera ett klargörande.

Mitt klargörande: Detta är inte ett specialfall av Riemanns zeta-funktion - det är ett missbruk av den.

Lennart W sa...

Kanske är värt att skriva en snutt om varför man öht får såna här oändliga summor i fysik (och det gäller minsann inte bara i mer eller mindre esoterisk strängfysik), och varför det finns skäl att tro tricken för att ge dem ändliga värden nog ändå trots allt är vettiga? Blir en mindre uppsats i så fall, någon gång framöver.

 
Religion Blogg listad på Bloggtoppen.se