11 jan. 2015

Är matematik något som blir upptäckt eller uppfunnet?

12 kommentarer:

Daniel W sa...

Spekulationer om det objektiva när det är som bäst. Men hur står det till med sanningslidelsen? Känns bra antar jag?

Lennart W sa...

Mitt svar: Upptäckt!
Väsentligen utifrån Wigners argument om matematikens "unreasonable effectiveness". Matematik fungerar för bra för att inte vara sann i sig själv. Men också därför att matematiska sanningar är objektivt sanna. Om man definierar ett matematiskt problem tillräckligt tydligt för vilken tillräckligt intelligent varelse som helst så måste de komma fram till samma svar som vi. T ex Pythagoras sats för rätvinkliga trianglar i plan geometri är universell. Detta påstående kan man nog vara skeptisk till, men i så fall vill jag ha ett förslag på hur det skulle kunna gå till egentligen. Hur skulle hypotenusan kunna vara något annat än 5 om kateterna är 3 resp 4? Nota bene! Vi måste då förstås först vara noggrant överens om själva problemformuleringen. Dvs att vi menar samma sak med begreppen "rätvinklig triangel", "plan geometri", "längd", osv. Men när vi väl är det så måste våra svar vara helt likvärdiga.

Patrik Lindenfors sa...

Jag håller med dig, Lennart! Skönt på något sätt.

Anders Hesselbom sa...

Det är bara syntaxerna som vi vet är uppfunna. Själva språket alltså. Men språket beskriver förmodligen något universellt, ja. Det är ingen slump att Arecibomeddelandet har dimensionen 23 * 73, för om man kommer på att meddelandet är tvådimensionellt, finns bara ett fel och ett rätt (där fel skulle vara 73 * 23) när vi har att göra med 1679 element. Hade vi skickat ett element till (1680 stycken) hade bilden kanske varit 35 * 48 element stor, kanske 28 * 60 element stor, och så vidare, då 1680 består av många fler faktorer än 1679. Vi litar alltså på att andra gudars avbilder kan förstå vår matematik.

Henrik Larsson sa...

Lennart,

Om du är intresserad och insatt, får jag kanske fråga dig vad du drar för slutsatser av Gödels ofullständighetsteorem? Framförallt det andra som man kanske kan säga "stängde dörren" till en fullständig axiomatisering av matematiken.Vad lär det oss om matematiken och kanske vetenskapen som du ser det att "ett finit formellt bevis för konsistensen av aritmetikens axiom aldrig kan uppnås inom aritmetiken". Den är ju en ganska klassisk trigger till demarkationsdebatt i detta ämne ;)

Patrik N sa...

Lennart, Patrik

Hur vet ni att matematiken fungerar "bra"? Den kanske fungerar rent uselt men vi människor upplever att den fungerar "bra" bara för att vårt mänskliga tänkande ligger på en så extremt outvecklad nivå att vi inte har förmåga att förstå hur lite vi kan förstå med våra hjärnor? Eller, skulle matematiken kunna vara helt "osann" trots att vi upplever den som sann bara för att den stödjer (eller snarare är ett resultat eller en spegling av) just vårt mänskliga sätt att tänka?

Problemet är att vi inte har någon objektiv måttstock att mäta "bra" emot. Så, som Daniel säger är det en spekulation om det objektiva att säga att matematiken fungerar "bra".

Måhända är matematiken någonting som vi "upptäcker" men kanske är det så att de upptäckter vi gör snarare är upptäckter av "oss själva" och vårt sätt att tänka än upptäckter av vår yttervärld? Det skulle också "förklara" Max Tegmarks syn på vårt universum som ett matematiskt objekt eftersom vi med vårt sätt att tänka då också med lätthet skulle kunna se universum som matematik. Vi kanske helt enkelt är så biologiskt konstruerade att vi ser och "upptäcker" matematik, inte en "objektiv matematik" som existerar utan människan, utan som en spegling av de subjekt vi är och som existerar så länge mänskligt tänkande existerar. Dvs, vi ser det vi är och vi kan ingenting annat se. Och eftersom vi är så självcentrerade så bedömer vi förstås att det är "bra" och att vi är "intelligenta".

Patrik Lindenfors sa...

Patrik N,
Vi har inte tillgång till någon annan information om omvärlden än den vi kan ta in via våra sinnesintryck och bearbeta med våra hjärnor. Med hjälp av den informationen vet vi att matematik kan hjälpa oss att beskriva och beräkna den yttre verkligheten på ett sådant sätt att vi kan bygga rymdraketer och bota pest. Det är den objektivast möjliga beskrivningen av verkligheten som kan bekräfta att matematik fungerar.

Bara för att vi inte vet allt så betyder inte det att vi inte vet något.

Lennart W sa...

Henrik: Tror inte att Gödels teorem påverkar min syn på det där. Det jag säger är att om två intelligenser utgår från samma axiomsystem A1 så kommer de - enl Gödel - att stöta på *samma* problem med det. T ex med någon obevisbar sats som kan formuleras inom A1 men alltså inte bevisas med det och att det därmed inte är komplett. Och båda kommer inse att en lösning till just det dilemmat är att utöka axiomsystemet med den obevisbara satsen (ett annat *val* är att istället ta satsens negation!) som ett extra axiom, vilket alltså ger ett nytt axiomsystem A2 som - enl Gödel - också kommer att ha problem. Btw kommer då förstås också båda intelligenserna att ha upptäckt Gödels teorem..

Grejen är här är att det faktiskt finns olika sätt att definiera hur man ska räkna. Men matematiken är *mer* än bara ett av dessa sätt. Matematiken är *alla* dessa sätt. Det finns oändligt många möjliga axiomsystem (inses av konstruktionen ovan...) och matematik handlar om *alla* dessa.

(Sen är det för all del också möjligt att det finns något om Gödels teorem jag inte har förstått på rätt sätt..)

Patrik N: Jag tror att du missuppfattar mig lite. Jag inledde med "Mitt svar", inte "rätt svar". Detta är vad jag tror och tycker. Resten är mina argument. Har du något argument för att någon annan intelligens faktiskt skulle kunna få något annat svar än oss på t ex problemet med vad hypotenusans längd blir om kateterna är 3 resp 4, givet att vi är noggrant överens om problemets formulering?

Göran sa...

Precis, så länge vi kan applicera matematiken på vår fysiska verklighet så kan vi visa att den är bra. Bron håller.

Bra också att inse att vi inte vet allt och att vi är ödmjuka inför det.

Sen har vi vård där ren omsorg är en underskattad faktor som är svår att beräkna matematiskt. Kanske därför som man inom vissa områden struntar i omvårdnaden och går helt över till medicinering med följd av att patienten aldrig blir frisk utan behandlingen blir livslång. Men recept kan alltid skrivas ut i bestämda doser med olika styrkor. Man beaktar bara den siffermässiga biten och man hamnar fel.

Patrik N sa...

Intressant nog så läste jag precis att spädbarn så unga som 4,5 månader kan uppfatta och uppleva "antal". Om man låter spädbarn höra ljud av ett visst antal, tex "boom, boom", så ägnar de direkt därefter större uppmärksamhet (tittar längre på) till en bild med två av någonting på än bilder med någonting av andra antal på. "Taluppfattning" skulle således vara medfödd (om det inte är så att den förvärvas de allra första månaderna). Det kanske indikerar att matematiken som vi ser den är en följd av vår biologi som i sin tur ger oss vårt sätt att tänka. Måhända hade en annan biologi, ett annat sätt att tänka och en annan intelligensnivå till och med kunnat göra matematiken överflödig? Eller bara annorlunda, dvs något helt annat hade "upptäckts"?

Jag behåller, så länge, min tes om att matematiken är en spegling av vårt sätt att tänka och att den kan sägas "upptäckas" men det som upptäcks är ingenting objektivt utan en spegling av vårt tänkande som i sin tur är en följd av vår biologi.

En annan fråga i sammanhanget, vad skulle det tyda på om man kan identifiera att man nog *vill* att matematiken ska vara något objektivt som upptäcks? Skulle det kunna vara samma typ av tänkande som den som vill upptäcka att någon typ av "Gud" existerar?

Henrik Larsson sa...

Lennart,

Tack för svar. Jag tror jag förstår din position.
Du anser alltså själv att teoremet inte säger något alls vad gäller trådens initiella fråga?
Om du ändå har lust att kommentera eventuella generella implikationer för teoremet som du ser det vad gäller "ett finit formellt bevis för att konsistensen av aritmetikens axiom aldrig kan uppnås inom aritmetiken" så skulle jag vara nyfiken. Som jag förstår det är även/framförallt teoremet ett listigt sätt att komma runt problemet genom att översätta/koda naturliga nummer för att uppnå precis den konsistensen (consistency?) som många uppfattar att det avtäckte. Visar teoremet på "inconsistencies" (säger man. "inkonsistenser" på svenska?) inom aritmetiken och säger detta dig något av värde om vetenskap, matematik eller åtminstone aritmetik eller är det endast oändlig komplexitet som kan försöka lösas med vidare arbete och ännu en "evighetspekare"?
Jag är framförallt intresserad av teoremets historiska roll som slagträ i demarkationsdebatter. Det verkar (fel)tolkas av många, på båda sidor.
Släpper där om du inte har tid och lust.

Göran sa...

Mycket pedagogiskt förklarat Lennart W. Det är axiomsystemet som måste ändras på områden där vi kört fast.

 
Religion Blogg listad på Bloggtoppen.se