15 sep. 2015

Världens skönhet och sorg

13 kommentarer:

Lennart W sa...

Inte för att vara petig, men den där spiralen visar Fibonaccis talföljd, F(n)=1,1,2,3,5,8,13... (som bestäms av f(0)=f(1)=1 och för n>1: f(n)=f(n-1)+f(n-2)). Det gyllene snittet γ=(1+√5)/2 är iofs relevant där med som det gränsvärde som kvoten mellan närliggande tal, f(n+1)/f(n), går mot då n går mot oändligheten.

Fibonacci och det gyllene snittet är intressanta för att de har så många tillämpningar matematiskt och i naturen. Men det finns de, imho, som tar det alldeles för långt. T ex används de i vissa tradingstrategier på börsen. Att dessa enkla mönster skulle ge en finansiell edge kan nog bara beskrivas som önsketänkande.

Patrik Lindenfors sa...

Tack för fördjupning. Jag kan rekommendera den här boken, som är rätt underhållande (och visar på hur snittet blivit överanvänt en hel del genom historien).
http://www.goodreads.com/book/show/24081.The_Golden_Ratio

Pike sa...

Inte för att vara petig, men hur i h-e kan du, med blotta ögat, se skillnad på en logaritmisk kurva baserad på det gyllene snittet och en approximation baserad på fibonacciföljden? ;)

Lennart W sa...

Patrik, tack för tips!

Pike, titta noga på bilden så ser du nog själv. Låt den minsta kvadratens sida vara 1 (längdenhet). Det finns två sådana, så där har du redan 1,1. Bredvid dessa två finns det en kvadrat med sidan=2. Sen kommer i tur och ordning kvadrater med sidorna 3, 5, 8, 13, ... ser du nu mönstret i bilden, hur det fungerar, och var nästa större kvadrat ska ritas in?

Spiralen i bilden är i själva verket en massa hopskarvade kvartscirklar med radierna 1,2,3,5,8,13,21 och 34. Hela figuren är lätt att göra själv med passare och linjal.

Och ursäkta om jag slog in en öppen dörr. I så fall gick jag på en fint.

Pike sa...

Lennart: Jag driver naturligtvis bara lite med dig (förlåt).

Jag tror, precis som du, att man använt Fibonacci, bara för att det är det enklaste sättet att konstruera spiralen.

Men om det hade varit en "äkta" gyllene spiral, med kvadraterna inritade där kurvan tangerar sidorna på rektanglarnas sidor, hade det varit grymt svårt att se skillnaden med blotta ögat. Det blir inte exakta kvartscirklar i kvadraterna, men bra nära.

Lennart W sa...

Touché Pike.

Ja det stämmer förstås. Men sämst stämmer de överens längst in i spiralerna. Vilket fick mig att lägga ned lite jobb (med komplex algebra som verkade lämpligt, men det blev meckigt ändå) på att fundera på hur den bästa anpassningen ser ut egentligen. Var bör man t ex lägga in den "äkta" spiralens startpunkt i figuren? Inte så uppenbart med tanke på hur kvartscirklarnas nav far runt i Fibonaccikonstruktionen, men den hammar väldigt nära, i den övre minsta kvadraten. Och med vilken koefficient (med fas) framför den exponentiellt ökande radien?

Pike sa...

(Nu får moderatorerna säga till om vi nördar ner oss för mycket i matten)

Jag tror jag tänkte tvärt om, Lennart.
Om jag ritar en gyllene spiral enligt formeln

r=ac^θ

där c = φ^(1/90) och φ är gyllene snittet.

Jag sätter origo i nedre vänstra hörnet på den övre minsta kvadraten. Om vi säger att sidan på den kvadraten är 1 så blir a i formeln också 1 och startpunkten för spiralen (θ=0) blir alltså i nedre högra hörnet på kvadraten (r=1).

Om jag konstruerar en sådan spiral och jämför med en jag konstruerat med Fibonacci (skalad till samma storlek av omgivande rektangel), så kommer det, som du säger att diffa en del längst in i spiralen. Enligt vad jag kan se ligger det runt 5,5% fel vid θ=90, 0,3% efter ett varv och sedan snabbt ner under en promille för θ>540 grader.

Som sagt: man måste vara ganska skarpögd för att se de skillnaderna. :)

Lennart W sa...

Pike: Tack! Hoppades på en chans att fortsätta nörda till det. :-)

Med samma origo som du (och komplext), och med den minsta kvadratens sida som längdenhet, hamnar den bästa anpassningens centrum i (1+2i)/5. Med ditt val är du lika mycket off. (Fast du flyttar kanske även spiralen lite när du skalar om den?) Formeln för varje kvartscirkelskarv ges av (tog ett tag att klura ut)
z(n) = (1+2i)/5 + (3+i)/5 * (-i)^n * ( F(n) + i F(n+1) )
där F(n) är Fibonacci talen (F(0)=0, F(1)=1, ...)
F(n) = (φ^n - (-φ)^(-n))/√5
och φ det gyllene snittet
φ = (1+√5)/2

Den bästa spiralen ges av om du struntar i den andra termen i F(n), dvs om du använder approximationen
F(n) ≈ φ^n/√5
(som btw blir exakt om man bara avrundar till närmaste heltal). Vilket ger formeln
z'(n) = (1+2i)/5 + (3+i)(1+iφ)/5 * (-iφ)^n
som är en spiral som växer med faktorn φ varje kvarts varv.

Den procentuella avvikelsen går som
|z'(n)/z(n) - 1|
och blir för n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
{52.6%, 23.0%, 9.0%, 3.4%, 1.3%, 0.5%, 0.2%, 0.1%, ...}
Detta avviker lite från dina uppskattningar men det kan vara du som har mest rätt. I min uppskattning tar jag inte hänsyn till fasskillnaden, dvs att de två formlerna i början faktiskt ger lite olika riktningar. Tittar man i samma riktning borde det bli mindre skillnad, men det orkar jag inte riktigt fundera på just nu. Men oavsett vilket, har du rätt i att felen snabbt blir allt mer osynliga.

Patrik Lindenfors sa...

Sådärja, lite högkvalitetskommentarer här på bloggen! (Dvs. med matematik ;-)

http://www.vof.se/folkvett/ar-2006/nr-4/matematikmissbruk/

Pike sa...

Den här diskussionen skulle man nästan kunna använda som exempel för att illustrera skillnaden mellan vetenskap och ingenjörskonst. :)

Du, Lennart, har gått vetenskapligt till väga, medan jag tog den ingenjörsmässiga approachen (dvs jag fuskade). Jag tänkte ut två enkla algoritmer för att rita spiralen och presentera den grafiskt. Den "Fibonaccibaserade" börjar rita en kvartcirkel i kvadraten som representeras av F(2)=1. Detta kommer sig helt enkelt av att det finns ingen kvadrat med sidan 0 och den första kvadraten innehåller ingen del av den "riktiga" gyllene spiralen. Det var indatat till mina jämförelser.

Så, jag har inte mest rätt. Jag fuskar bara mer för att få till ett snyggt resultat (och slippa räkna med komplexa tal). ;)

Pike sa...

För övrigt: Konstigt att ingen ännu mer skarpögd person har noterat att spiralen i inlägget är spegelvänd.

Patrik N sa...

Den är såklart ritad på utsidan av det fönster du blickar ut genom.

Lennart W sa...

Pike: Du har alltså angripit detta som om det var empiriska data, vilket ju förstås också är sånt man gör i vetenskap. Bl a därför är jag faktiskt nyfiken på detaljerna i vad du gjorde. Det jag gjorde var bara att ta fasta på att det i just det hör fallet faktiskt handlar om ren matematik.

Patrik L: Matematikmissbruk som att hålla på med det tills man får någon sorts runner's high då kanske. Endorfinjunkie på matte?? Ja, jag tror faktiskt det är möjligt. Men din artikellänk handlar förstås om något annat som jag nog inte alls känner mig skyldig till.

 
Religion Blogg listad på Bloggtoppen.se