2 juni 2017

Gödels ofullständighetsteorem

Är Gödels ofullständighetsteorem utanför gränsen av din kunskap? Kanske kan förklaringen i denna video flytta den gränsen.

3 kommentarer:

Anders Bergdahl sa...

Detta är ju lite intressant..
Man jag undrar hur Quines resonemang om att "statements" inte är objekt påverkar det hela.
Uttalandet "DETTA uttalande kan inte bevisas från axiom" KAN (om jag tolkar Quine rätt) inte ses som ett onjekt med någon "mening". Uttalandet kan dock ha synonymer med empiriska referenser och via de empiriska referenserna kan man sluta sig till om synonymen är empiriskt sann eller falsk men då satsen inte är något annat än sig själv.. inte pekar på något, annat än sig själv så slipper vi på sätt och vis Gödels paradoxer... ELLER???

Anders Bergdahl sa...

Matematikens "incompleteness" gör också matematiken till en vetenskap, vi kan i vetenskap bata BEVISA vad som är falskt men inte vad som är slutligt sant.. sanning är de satser som vi har goda skäl att hålla för sanna för att de bygger på andra, mer fundamentala satser, som vi inte kan bevisa att de är falska..
Matematiken kan alltså använda hypotetiskt deduktiv metod..

Lennart W sa...

Så här ser jag det:

Enligt Gödels teorem finns det minst ett påstående P1 som varken går att bevisa eller motbevisa inom ett axiomatiskt system A1. Som han påpekar i filmen kan man då fullt giltigt lägga till ett axiom om just P1. Man har då faktiskt två val: axiomet att P1 är falskt, eller att axiomet P1 är sant.

Exempel: Parallellaxiomet är inte bevisbart utifrån Euklides övriga axiom. Man kan då anta att parallellaxiomet är sant, vilket leder till Euklidisk geometri, men man kan också anta att det är falskt, vilket leder till krökt geometri.

Så utifrån A1 och P1 kan vi konstruera det nya axiomsystemet A2. Men vi kan också konstruera det nya axiomsystemet A2' genom att utgå från A1 och icke-P1.

Nu har förstås A2 och A2' sina egna Gödelsatser P2 och P2' från vilka vi kan utöka axiomsystemen till A3, A3', A3", A3'". En process som kan fortsättas hur länge som helst, ad infinitum.

Men detta är ju inte ett större problem än att det t ex också kan bevisas att det finns oändligt många primtal (som de också jämför med i filmen). Det finns alltså oändligt många axiomsystem. Och det matematik handlar om är ALLA axiomsystem och alla satser som kan bevisas eller motbevisas utifrån var och en av dem. Detta är ren deduktion, iaf i princip. För i praktiken är det naturligtvis så att även matematiker experimenterar med nya idéer. Men det som de sedan sätter på pränt är sådant som kan bevisas.

 
Religion Blogg listad på Bloggtoppen.se